66ª Reunião Anual da SBPC

Resumo aceito para apresentação na 66ª Reunião Anual da SBPC pela(o): SBM - Sociedade Brasileira de Matemática

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 1. Matemática

A CICLÓIDE E O PROBLEMA HISTÓRICO DA BRAQUISTÓCRONA

Lariza Conceição Castro Lima - Programa de Ciências Exatas - UFOPA Paulo Augusto Souza Pimentel - Programa de Ciências Exatas - UFOPA Hugo Alex Carneiro Diniz - Orientador/ Programa de Ciências Exatas - UFOPA

INTRODUÇÃO:

Ao observar o movimento de um ponto qualquer na roda de um automóvel, nota-se que o arco formado ao longo do percurso gera uma curva chamada ciclóide. Com o auxílio do Geogebra é possível simular este procedimento tendo uma melhor visualização da curva. O matemático francês Charles Bouvelle foi o primeiro a estudá-la e, posteriormente, outros matemáticos deram atenção a essa curva e suas propriedades. Uma dessas propriedades é a Braquistócrona, que consiste em ser a curva com o menor tempo de queda de uma partícula que desliza somente sob a ação da gravidade. Estudada pelos matemáticos Johann e Jacob Bernoulli, L’Hopital, Leibniz e Newton. Outro problema que envolve a ciclóide é o da tautócrona, encontrado por Christiaan Huygens na construção de um relógio de pêndulo. Esse problema consistia determinar uma curva cujo tempo de queda de uma partícula seja sempre o mesmo independente da altura. Com base no problema da braquistócrona criou-se um experimento prático para comparar e comprovar o tempo de queda de três curvas, sendo uma delas a ciclóide. Utilizando o sistema computacional Maxima é feito um experimento numérico verificando que a ciclóide possui o menor tempo de queda.

OBJETIVO DO TRABALHO:

Apresentar um estudo sobre a ciclóide, reunir algumas de suas propriedades, utilizar ferramentas computacionais, como o Geogebra para a construção da curva e o Maxima para análise numérica. Bem como demonstrar que a ciclóide é a solução para os problemas da Braquistócrona e da Tautócrona. Construir um experimento prático que permita a comparação da braquistócrona com outras curvas.

MÉTODOS:

O trabalho foi feito por meio de pesquisa bibliográfica, reunião de propriedades da curva estudada bem como prova de cada uma, tanto na internet quanto em livros. Houve também a utilização de softwares no auxílio do estudo como construção e análise numérica da curva. No caso do experimento relativo à braquistócrona, tiras de borracha foram utilizadas para fazer as curvas, esferas maciças para simular os deslize da partícula e o compensado como base de apoio.

RESULTADOS E DISCUSSÃO:

A ciclóide é a curva traçada por um ponto qualquer da borda de uma circunferência que rola sem deslizar por um plano horizontal. Para visualizar esse processo, criamos um guia de construção da curva no software Geogebra. O problema da braquistócrona é enfatizado neste artigo, pois motivou nosso estudo inicial. Tal problema consiste em determinar o tempo de queda mínimo de uma partícula que desliza somente sob a ação da gravidade. A ideia era mostrar que, intuitivamente seríamos levados ao erro deduzindo que o percurso mais rápido seria uma reta, por ser a menor distância entre dois pontos. Uma das soluções para a o problema da braquistócrona foi obtida através do Princípio de Fermat uma vez que a luz percorre sempre o caminho com o menor tempo possível. A segunda é através de cálculo variacional onde modelamos o problema em uma equação chamada de funcional (uma função cujo domínio são funções). O problema básico é encontrar um extremo deste funcional, para o caso da braquistócrona, um mínimo, ou seja, que curva é capaz de minimizar o tempo de queda. Estudou-se, também, o problema da tautócrona, que consistia em determinar a curva cujo tempo de queda de uma partícula seja sempre o mesmo independente da altura. O problema surgiu na construção de um relógio de pêndulo em que o período de oscilação era independente da amplitude do movimento. A solução deste problema também é uma ciclóide. Outro resultado é a criação do experimento prático, que compara o tempo de queda de três curvas: uma curva qualquer, uma reta e a ciclóide. Com o experimento é visível que a esfera percorre o caminho em menos tempo através da ciclóide, mas, para comprovar o experimento usamos o software Máxima para analisar o tempo de queda das curvas de forma numérica, porém não nos limitamos somente as curvas experimentais e sim a outras como parábola e circunferência chegando a conclusão de que a ciclóide é realmente a curva com menor tempo de queda.

CONCLUSÕES:

O desafio que norteou este artigo foi, inicialmente, o problema da braquistócrona, que tem grande relevância histórica. Algo que torna notável este trabalho é o fato de unirmos as propriedades da ciclóide, haja visto que não é comum encontrarmos materiais como este sobre ela, ainda mais no que diz respeito à ferramentas computacionais. O uso de artifícios computacionais é um diferencial que traz análises numéricas de diversas curvas em relação à ciclóide. Temos também o experimento que além de ser a parte prática de um problema, traz a possibilidade de uma futura aplicação em sala de aula, de modo a contribuir para a formação de conceitos, a primeira vista, complexos para alunos da Educação Básica.

Palavras-chave: Ciclóide, Braquistócrona, Experimento.