66ª Reunião Anual da SBPC

Resumo aceito para apresentação na 66ª Reunião Anual da SBPC pela(o): SBF - Sociedade Brasileira de Física

A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 1. Física

Obtenção da solução de Schwarzschild via Equações de Estrutura de Cartan

JOSE ALEXANDRE FERNANDES MENDES - Centro de Estudos Superiores de Parintins - CESP/UEA - Parintins, AM. ANTONIO LEOCADIO MARTINS FERREIRA - Orientador - Centro de Estudos Superiores de Parintins - CESP/UEA, Parintins,AM.

INTRODUÇÃO:

A teoria da relatividade geral foi formulada em uma geometria pseudo-riemanniana com curvatura. Em 1916, um astrônomo alemão chamado Karl Schwarzschild encontrou uma solução exata das equações gravitacionais da relatividade geral, a solução que Schwarzschild encontrou corresponde exatamente a solução de um planeta orbitando uma estrela. Solução essa que descreve às equações de campo para um corpo esfericamente simétrico e estático. Partiremos então em busca da solução mais simples das equações de campo de Einstein, mas utilizando o método conhecido como equações de estrutura de Cartan (método de referencial móvel) que baseia nas formas diferenciais.

OBJETIVO DO TRABALHO:

Proporcionar ao aluno de iniciação cientifica conhecimentos introdutórios de Teoria da Relatividade Geral e Geometria diferencial, para que o bolsista possa compreender como a interação gravitacional descrita por Einstein é uma manifestação do caráter dinâmico da geometria do espaço-tempo. Obter a solução de Schwarzschild pelas Equações de Estrutura de Cartan.

MÉTODOS:

Para obter a métrica de uma situação que descreve uma solução no vácuo devido uma distribuição esfericamente simétrica, deve se levar em conta que para um corpo distante de uma fonte de gravitação (r→∞) a sua métrica deva ser assintoticamente plano, como estamos considerando que ela seja esfericamente simétrico, devemos encontrar a métrica de Minkowski em coordenadas esféricas. Em seguida, eliminamos a dependência da métrica em relação ao tempo, impomos a simetria esférica e preservamos a assinatura da métrica. Depois nosso passo foi determinar os símbolos de Christofell, mas para isso utilizaremos as equações de estrutura de Cartan(método das tetradas ortonormal) , sendo assim definimos bases um-forma para relacionar com a primeira equação da estrutura de Cartan e obter a curvatura um-forma para posteriormente chega aos símbolos de Christofell. Analogamente determinamos as componentes do tensor curvatura a partir da segunda equação da estrutura de Cartan.

RESULTADOS E DISCUSSÃO:

A ideia da gravitação como uma manifestação entre forças é totalmente abandonada e ao invés disso as saliências, depressões, curvaturas e dobras do espaço-tempo geometrizado são caracterizadas como fenômenos da gravidade. Diante desse cenário é conveniente o estudo aprofundado da geometria diferencial para a pesquisa em gravitação. O método do referencial móvel de Cartan, ou equações de estrutura, consiste no estudo das subvariedades do espaço de Klein. Por este método, obter o tensor de curvatura e os símbolos de Christoffel ficou simples, comparado com a maneira que estamos habituados a resolver.

CONCLUSÕES:

O presente trabalho nos mostra a importância que o desenvolvimento da Geometria Diferencial proporcionou a física e mostra como obter a Solução de Schwarzschild pelo Método de Referenciais Móveis (Equações de Estrutura de Cartan), onde obtemos um conjunto de equações que servirá para determinar o tensor de Riemann, a partir de uma métrica, de maneira mais elegante do que estamos acostumados a obter em livros renomados de Gravitação e cosmologia. É importante mencionar que esse método engloba, nas equações de estrutura, todas as informações geométricas importantes e possui uma grande aplicabilidade em Física.

Palavras-chave: Teoria da Relatividade Geral, Referencial móvel de Cartan, Solução Schwarzshild.